Gibbs Measure Evolution in Radial Nonlinear Wave and Schrödinger Equations on the Ball Mesures De Gibbs Et Équations Non-linéaires Des Ondes Et Schrödinger Sur La Boule Jean Bourgain and Aynur Bulut

We establish new results for the radial nonlinear wave and Schrödinger equations on the ball in R and R, for random initial data. More precisely, a well-defined and unique dynamics is obtained on the support of the corresponding Gibbs measure. This complements results from [6, 7] and [8, 9]. Résumé. On démontre des résultats nouveaux sur les équations des ondes et l’équation de Schrödinger radiale sur la boule dans R et R pour conditions initiales aléatoires. Plus exactement, on établé une dynamique bien-définie et unique sur le support de la measure de Gibbs. Ceci complémente des résultats de [6, 7] et [8, 9]. Version française abrégrée On considère les équations non-lineaires (radiale et défocusante) des ondes (NLW) et Schrödinger (NLS) sur la boule B dans R et R (∂ t −∆)w + |w|w = 0 (NLW) (i∂t +∆)u− |u|u = 0 (NLS) ainsi que leures versions troncées (en introduisant un projecteur PN sur [e1, . . . , eN ] où {en}n≥1 sont les fonctions propres de Dirichlet sur B) et les mesures de Gibbs correspondantes. On établie des estimées espace-temps et une dynamique unique quand N → ∞, dans les modèles (NLW) en dimension 3 pour α < 4 (le cas α < 3 étant traité dans [6, 7]), et (NLS) en dimension 2, α arbitraire (voir [9] pour le cas α < 4) et en dimension 3 pour α = 2. Date: May 8, 2012. The research of J.B. was partially supported by NSF grants DMS-0808042 and DMS-0835373 and the research of A.B. was supported by NSF under agreement Nos. DMS-0635607 and DMS0808042. 1 1. The equations and the Gibbs measure Denote B = Bd the unit ball in R . We consider the defocusing nonlinear wave (NLW) and nonlinear Schrödinger (NLS) equation { (∂ t −∆)w + |w|αw = 0 (w, ∂tw)|t=0 = (f1, f2) (1) { (i∂t +∆)u − |u|αu = 0 u|t=0 = φ (2) on the spatial domain B with Dirichlet boundary conditions and with radial initial data. Thus (f1, f2) is real valued and radial in (1), φ is a radial complex valued function in (2). It is convenient to rewrite (1) as a first order equation in t, introducing the complex function u = w + i( √ −∆)−1∂tw. Then (1) turns into the equation { (i∂t − √ −∆)u+ ( √ −∆)−1(|Reu|αReu) = 0 u|t=0 = φ = f1 + i( √ −∆)−1f2. (3) Both (2), (3) are Hamiltonian equations taking the respective forms iut = ∂H ∂ū and iut = ( √ −∆)−1 ∂H ∂ū with Hamiltonians